Почему женщин принято пропускать вперед?

Однозначного ответа нет. Самая известная версия следующая: 

Своими корнями наша "этикетная" традиция уходит в далекую древность. Давным-давно, в стародавние времена люди жили в пещерах. Но все не могли жить в одной пещере. Поэтому приходилось осваивать новые "местожительства".  А в необжитых пещерах, как правило, жили хищные звери. И вот приходят мужчина и женщина к новой пещере. Он посылает женщину вперед, а сам находит причину остаться снаружи. Потом возможны два варианта. Первый: раздается рык, крики и чавканье — женщина растерзана. Второй: через некоторое время слышно ворчанье женщины — все хорошо. Первый случай означает, что в данной пещере жить не получится. Второй — счастливую дальнейшую жизнь. Почему так? Да потому что мужчина в то время ценился больше, чем женщина, ведь он добытчик, охотник, выполняющий тяжелую физическую работу.

Есть еще версии: 
- Традицию пропускать женщину вперед себя пошла из матриархата. 
- Во времена средневековья на балах первыми всегда представляли женщин (точнее дочерей) для того, чтобы их выдать замуж. Чтобы опередить "конкурентов" дочерей пускали перед собой. 
- В платьях, которые носили во времена средневековья, открыть двери самостоятельно было проблематично.